Bilangan Bulat dan Matriks | Matematika Diskrit

Bilangan Bulat dan Matriks | Matematika Diskrit

October 28, 2017

Bilangan Bulat dan Matriks | Matematika Diskrit

recudo.com - Hay guys... Jumpa lagi nih dengan recudo. Gimana nih kabar kalian?. Semoga baik-baik saja yah. Disini admin akan memberikan materi tentang Matematika Diskrit "Bilangan Bulat dan Matriks".


BILANGAN BULAT dan MATRIKS

1. Bilagan Bulat

Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 6545, -34, 0.

  • Sifat Pembagian pada Bilangan Bulat
Misalkan a dan b  adalah dua buah bilangan bulat dengan syarat a ≠ 0. Kita menyatakan bahwa a habis membagi b (a divides b) jika terdapat bilangan bulat c sedemikian sehingga b = ac.

Notasi: a | b jika  b = ac, c ∈ Z dan a ≠ 0.  ( Z = himpunan bilangan bulat)

Kadang - kadang pernyataan "a habis membagi b" ditulis juga "b kelipatan a".

Contoh 1 : 4 | 12 karena 12 - 4 = 3 (bilangan bulat) atau 12 = 4 x 3. Tetapi 4 | 13 karena 13 / 4 = 3.25 (bukan bilangan bulat)

  •  Bilangan Prima
Bilangan prima adalah bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 yang hanya habis dibagi oleh 1 dan dirinya sendiri.
Contoh : 2, 3, 5, 7, 11, 13,...

Karena bilangan prima harus lebih besar dari 1, maka barisan bilangan prima dimulai dari 2, yaitu 2, 3, 5, 7, 11, 13, ….
Seluruh bilangan prima adalah bilangan ganjil, kecuali 2 yang merupakan bilangan genap.

Definisi :
Bilangan bulat positif p (p>1) disebut bilangan prima jika pembaginya hanya 1 dan p.

  • Aritmatika Modular
Misalkan q adalah bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat > 0. Operasi a mod m ("a modulo m") memberikan sisa a diabgi dengan m.

Notasi : a mod m = r, sedemikian sehingga a = mq + r, dengan 0 ≤ r < m

Bilangan m disebut modulus atau modulo, dan hasil aritnetika modulo m terletak di himpunan {0, 1, 2, ... m - 1} (mengapa?).

Beberapa hasil operasi dengan operator modulus:

    • 23 mod 5 = 3 (karena 23 di bagi 5 memberikan hasil = 4 dan sisa 3 atau ditulis 23 = 5.4 + 3)
    • 27 mod 3 = 0           (27 = 3.9 + 0)
    • 6 mod 8 = 6             (6 = 8.0 + 6)
    • 0 mod 12 = 0           (0 = 12.0 + 0)
    • -41 mod 9 = 4          (-41 = 9(-5) + 4)
    • -39 mod 13 = 0        (-39 = 13(-3) + 0)

  • Kaitan Aritmatika Modulo dan Kriptografi
Aritmatika modulo cocok digunakan untuk kriptografi karena dua alasan :
      1. Oleh karena nilai-nilai aritmetika modulo berada dalam himpunan berhingga (0 sampai modulus m -1 ), maka kita tidak perlu khawatir hasil perhitungan berada di luar himpunan.
      2. Karena kita bekerja dengan bilangan bulat, maka kita tidak khawatir kehilangan informasi akibat perbulatan (round off) sebagaimana pada operasi riil.

  • Algoritma Eucildean
    • Jika n = 0, maka m adalah PBB (m, n); stop. Tetapi jika n ≠ 0 lajutan ke langkah selanjutnya
    • Bagilah m dengan n misalkan r adalah sisanya
    • Gantilah  nilai m dengan n dan nilai n dengan r, lalu ulang kembali ke langkah awal
Contoh 2 : PBB dari m dan n adalah sisa terakhir yang tidak nol dari runtunan pembagian tersebut PBB(80, 12) = 4

Sisa pembagian terkahir sebelum 0 adalah 4, maka PBB(80, 12) = 4

  • Kriptografi
Aritmatika modulo dan bilangan prima mempunyai banyak aplikasi dalam ilmu komputer, salah satu aplikasinya yang terpenting adalag kriptografi. Kriptografi adalah ilmu sekaligus seni untuk menjaga kerahasiaan pesan (data atau informasi) dengan cara menyamarkan menjadi bentuk yang tidak mempunyai makna.

  • Plainteks, Cipherteks, Enkripsi dan Dekripsi
    • Plainteks adalah pesan yang dirahasiakan, artinya teks jelas yang dapat dimengerti.
    • Cipherteks adalah pesan hasil penyamaran, artinya teks tersandi
    • Enkripsi adalah proses penyamaran dari plainteks ke cipherteks
    • Dekripsi adalah proses pembalikan dari cipherteks ke plainteks.


2. Matriks

Dalam matematika, susunan bilangan yang ditulis menurut baris dan kolom serta ditandai dengan tanda kurung di sebelah kiri dan sebelah kanannya disebut matriks. Nama baris dan kolom disesuaikan dengan urutannya. Masing-masing bilangan yang ada di dalam tanda kurung tersebut disebut elemen matriks. Pada matriks di atas, elemen matriks baris ke-2 kolom ke-4 adalah 6 dan elemen matriks baris ke-3 kolom ke-1 adalah 5. Hal ini dapat dilihat dengan mudah pada matriks berikut.

  • Notasi dan Ordo Matriks

Untuk menyatakan matriks, biasanya digunakan huruf kapital, seperti A, B, C, ..., sedangkan untuk menyatakan elemen matriks ditulis dengan huruf kecil. Misalnya, aij untuk menyatakan tiap elemen matriks A, bij untuk menyatakan tiap elemen B, dan seterusnya. 
Dari uraian yang telah disampaikan di atas, kita dapat mendefinisikan pengertian matriks sebagai berikut. 
Suatu matriks A berukuran m × n adalah susunan berbentuk persegi panjang yang terdiri atas m baris dan n kolom. 
Matriks A biasanya dinotasikan sebagai berikut.








  • Jenis-Jenis Matriks
    • Matrik Nol adalah matriks yang semua unsur-unsurnya bernilai sama dengan nol. Contoh nya 

    • Matriks kolom adalah matriks yang unsur-unsurnya membentuk suatu kolom. Contoh nya.
    • Matriks segitiga adalah matriks yang semua unsur diatas diagonal utamanya bernilai nol, ataupun dibawah diagonal utamanya bernilai nol. Contoh nya.

  • Macam-Macam Matriks
    • Matriks persegi adalah matriks yang memiliki baris dan lajur yang sama bentuknya m = n . Contohnya.
    • Matriks diagonal adalah matriks yang unsur-unsurnya semua bernilai nol kecuali pada diagonal utamanya. Contohnya.
    • Matriks identitas adalah matriks skalar uang nilai unsur-unsur diagonal utamanya sama dengan satu. Contohnya.

Terima kasih untuk kalian yang telah mengunjungi artikel ini, semoga dapat bermanfaat.
Dan tetap nantikan artikel mearik dari recudo yah.

















EmoticonEmoticon

Subscribe to: Post Comments (Atom)