Relasi | Matematika Diskrit

Relasi | Matematika Diskrit

recudo.com - Hay guys.. Jumpa lagi nih dengan recudo. Gimana nih kabar kalian?. Semoga baik-baik saja yah. Disini admin akan memberikan materi tentang Matematika Diskrit "Relasi".

RELASI

1. Relasi

• Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A x B.
• Notasi: R ⊆ (A x B).   
• a R b adalah notasi untuk (a, b) ∊ R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh R
• a  b adalah notasi untuk (a, b)  ∊ R, yang artinya a tidak dihubungkan oleh b oleh relasi R. 
• Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari R, dan himpunan B disebut daerah hasil (range) dari R.

Contoh 1 : Misalkan :

A = {Amir, Budi, Cecep},  B = {IF221, IF251, IF342, IF323} 

A x B = {(Amir, IF221), (Amir, IF251), (Amir, IF342), 

(Amir, IF323),  (Budi, IF221), (Budi, IF251), 

(Budi, IF342), (Budi, IF323), (Cecep, IF221),

(Cecep, IF251), (Cecep, IF342), (Cecep, IF323) }

Misalkan R adalah relasi yang menyatakan mata kuliah yang diambil oleh mahasiswa pada Semester Ganjil, yaitu

R = {(Amir, IF251), (Amir, IF323), (Budi, IF221), 

        (Budi, IF251), (Cecep, IF323) }

• Dapat dilihat bahwa R ⊆ (A x B), 
• A adalah daerah asal R, dan B adalah daerah hasil R. 
• (Amir, IF251) ∊ R  atau Amir R IF251
• (Amir, IF342) ∉  R atau Amir R  IF342.

Contoh 2. Misalkan 

P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan

       (p, q) ∈ R  jika p habis membagi q

maka kita peroleh

R  = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15) }              

• Relasi pada sebuah himpunan adalah relasi yang khusus
• Relasi pada himpunan A adalah relasi dari A x A.
• Relasi pada himpunan A adalah himpunan bagian dari A x A. 

2. Representasi Relasi

a. Reprentasi Relasi dengan Diagram Panah

b. Reprentasi Relasi dengan Table

c. Reprentasi Relasi dengan Matriks

• Misalkan R adalah relasi dari A = {a₁, a₂...., a_m} dan B = {b₁, b₂, ..., b_n}.
• Relasi R dapat di sajikan dengan Matriks M = [m_ij]

        yang dalam hal ini .

Contoh  3 : Relasi R pada Contoh 3 dapat dinyatakan dengan matriks

Dalam hal ini, a₁ = Amir, a₂ = Budi, a₃ = Cecep, dan b₁ = IF221, b₂ = IF251, b₃ = IF342, dan b₄ = IF323.

Relasi R pada Contoh 4 dapat dinyatakan matriks.

Dalam hal ini a₁ = 2, a₂ = 3, a₃ = 4, dan b₁ = 2, b₂ = 4, b₃ = 8, b₄ = 9, b₅ = 15.

d. Reprentasi Relasi dengan Graf Berarah

• Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara grafis dengan graf berarah (directed graph atau digraph) 
• Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi dari suatu himpunan ke himpunan lain. 
• Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga simpul atau vertex), dan tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur (arc)
• Jika (a, b) ∈ R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke simpul b. Simpul a disebut simpul asal (initial vertex) dan simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex).  
• Pasangan terurut (a, a) dinyatakan dengan busur dari simpul a ke simpul a sendiri. Busur semacam itu disebut gelang atau kalang (loop).

Contoh 4. Misalkan R = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, c), (b, d), (c, a), (c, d), (d, b)} adalah relasi pada himpunan {a, b, c, d}. 

R direprentasikan dengan graf berarah sebagi berikut.

2. Sifat Relasi

• Relasi yang di definisikan pada sebuah himpunan mempunyai beberapa sifat.

a. Refleksif (reflexive)

• Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a, a) ∈ R untuk setiap a ∈ A.
• Relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika ada a ∈ A sedemikan sehingga (a, a) ∉ R.

Contoh 5. Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka

• Relasi R = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk (a, a), yaitu (1, 1), (2, 2), (3, 3), dan (4, 4).
• Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } tidak  bersifat refleksif karena (3, 3) ∉ R.

Contoh 6 : Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat refleksif karena setiap bilangan bulat positif habis dibagi dengan dirinya sendiri, sehingga (a, a) ∈ R untuk setiap a ∈ A.              

Contoh 7 : Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N.

R : x lebih besar dari y, S : x + y = 5, T : 3x + y = 10

Tidak satupun dari ketiga relasi di atas yang refleksif karena, misalkan (2, 2) bukan anggota R, S, maupun T.

• Relasi yang bersifat relfleksif mempunyai matriks yang elemen diagonal utamanya semua bernilai 1, atau m_ii = 1, untuk i = 1, 2, ..., n,

• Graf berarah dari relasi yang bersifat refleksif dicirikan adanya gelang pada setiap simpulnya.

b. Menghantar (transitive)

• Relasi R pada himpunan A disebut menghantar jika (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ R, maka (a, c) ∈ R, untuk a, b, c ∈ A.

Contoh 8. Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka

• R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3) } bersifat menghantar. Lihat tabel berikut

• R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak manghantar karena (2, 4) dan (4, 2) ∈ R, tetapi (2, 2) ∉ R, begitu juga (4, 2) dan  (2, 3) ∈ R, tetapi (4, 3) ∉ R.
• Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) } jelas menghantar 
• Relasi R = {(1, 2), (3, 4)} menghantar karena tidak ada (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ R sedemikian sehingga (a, c) ∈ R.

Relasi yang hanya berisi satu elemen seperti R = {(4, 5)} selalu menghantar.

c. Setangkup (symmetric) dan tolak-setangkup (antisymmetric)

• Relasi R pada himpunan A disebut setangkup jika (a, b) ∈ R, maka (b, a) ∈ R untuk a, b ∈ A.
• Relasi R pada himpunan A tidak setangkup jika (a, b) ∈ R sedemikian  sehingga (b, a) ∉ R.
• Relasi R pada himpunan A sedemikian sehingga (a, b) ∈ R  dan (b, a) ∈ R  hanya jika a = b untuk a, b ∈ A disebut tolak-setangkup. \
• Relasi R pada himpunan A tidak tolak-setangkup jika ada elemen berbeda a dan b sedemikian sehingga (a, b) ∈ R dan (b, a) ∈ R.

3. Relasi Inversi

• Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari relasi R, dilambangkan R^-1, adakag relasi dari B ke A yang didefinisikan oleh
  

                     R^-1 = {(b, a) | (a, b) ∈ R}

Contoh 9: Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan  (p, q) ∈ R  jika p habis membagi q , maka kita peroleh

R  = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15) }
R^–1 adalah invers dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P  dengan  (q, p) ∈ R^–1  jika q adalah kelipatan dari p, maka kita peroleh
R^–1  = {(2, 2), (2, 4), (4, 4)}

Jika M adalah matriks yang mereprentasikan relasi R,

maka matriks yang mereprentasikan relasi R^-1, misalkan N, diperoleh dengan melakukan transpose terhadap matriks M,

3. Komposisi Relasi

• Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dan S adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi R dan S, dinotasikan dengan S o R, adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh

S o R = {(a, c) | a ∈ A, c ∈ C, dan untuk beberapa b ∈ B, (a, b) ∈  R  dan (b, c) ∈ S}

Contoh 10 : Misalkan  R = {(1, 2), (1, 6), (2, 4), (3, 4), (3, 6), (3, 8)}  adalah relasi dari himpunan {1, 2, 3} ke himpunan {2, 4, 6, 8} dan  S = {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)}  adalah relasi dari himpunan {2, 4, 6, 8} ke himpunan {s, t, u}. 

Maka komposisi relasi R dan S adalah

S o R = {(1, u), (1, t), (2, s), (2, t), (3, s), (3, t), (3, u) }

Komposisi relasi R dan S lebih jelas jika di peragakan dengan diagram panah.

Terima kasih untuk kalian yang telah mengunjungi artikel ini, semoga dapat bermanfaat dan semoga membantu anda.

Dan tetap nantikan artikel menarik dari recudo yah . ^_^

Bilangan Bulat dan Matriks | Matematika Diskrit

Bilangan Bulat dan Matriks | Matematika Diskrit

recudo.com - Hay guys... Jumpa lagi nih dengan recudo. Gimana nih kabar kalian?. Semoga baik-baik saja yah. Disini admin akan memberikan materi tentang Matematika Diskrit "Bilangan Bulat dan Matriks".

BILANGAN BULAT dan MATRIKS

1. Bilagan Bulat

Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 6545, -34, 0.

• Sifat Pembagian pada Bilangan Bulat

Misalkan a dan b  adalah dua buah bilangan bulat dengan syarat a ≠ 0. Kita menyatakan bahwa a habis membagi b (a divides b) jika terdapat bilangan bulat c sedemikian sehingga b = ac.

Notasi: a | b jika  b = ac, c ∈ Z dan a ≠ 0.  ( Z = himpunan bilangan bulat)

Kadang - kadang pernyataan "a habis membagi b" ditulis juga "b kelipatan a".

Contoh 1 : 4 | 12 karena 12 - 4 = 3 (bilangan bulat) atau 12 = 4 x 3. Tetapi 4 | 13 karena 13 / 4 = 3.25 (bukan bilangan bulat)

•  Bilangan Prima

Bilangan prima adalah bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 yang hanya habis dibagi oleh 1 dan dirinya sendiri.

Contoh : 2, 3, 5, 7, 11, 13,...

Karena bilangan prima harus lebih besar dari 1, maka barisan bilangan prima dimulai dari 2, yaitu 2, 3, 5, 7, 11, 13, ….

Seluruh bilangan prima adalah bilangan ganjil, kecuali 2 yang merupakan bilangan genap.

Definisi :

Bilangan bulat positif p (p>1) disebut bilangan prima jika pembaginya hanya 1 dan p.

• Aritmatika Modular

Misalkan q adalah bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat > 0. Operasi a mod m ("a modulo m") memberikan sisa a diabgi dengan m.

Notasi : a mod m = r, sedemikian sehingga a = mq + r, dengan 0 ≤ r < m

Bilangan m disebut modulus atau modulo, dan hasil aritnetika modulo m terletak di himpunan {0, 1, 2, ... m - 1} (mengapa?).

Beberapa hasil operasi dengan operator modulus:

• 23 mod 5 = 3 (karena 23 di bagi 5 memberikan hasil = 4 dan sisa 3 atau ditulis 23 = 5.4 + 3)
• 27 mod 3 = 0           (27 = 3.9 + 0)
• 6 mod 8 = 6             (6 = 8.0 + 6)
• 0 mod 12 = 0           (0 = 12.0 + 0)
• -41 mod 9 = 4          (-41 = 9(-5) + 4)
• -39 mod 13 = 0        (-39 = 13(-3) + 0)

• Kaitan Aritmatika Modulo dan Kriptografi

Aritmatika modulo cocok digunakan untuk kriptografi karena dua alasan :

1. Oleh karena nilai-nilai aritmetika modulo berada dalam himpunan berhingga (0 sampai modulus m -1 ), maka kita tidak perlu khawatir hasil perhitungan berada di luar himpunan.
2. Karena kita bekerja dengan bilangan bulat, maka kita tidak khawatir kehilangan informasi akibat perbulatan (round off) sebagaimana pada operasi riil.

• Algoritma Eucildean

• Jika n = 0, maka m adalah PBB (m, n); stop. Tetapi jika n ≠ 0 lajutan ke langkah selanjutnya
• Bagilah m dengan n misalkan r adalah sisanya
• Gantilah  nilai m dengan n dan nilai n dengan r, lalu ulang kembali ke langkah awal

Contoh 2 : PBB dari m dan n adalah sisa terakhir yang tidak nol dari runtunan pembagian tersebut PBB(80, 12) = 4

Sisa pembagian terkahir sebelum 0 adalah 4, maka PBB(80, 12) = 4

• Kriptografi

Aritmatika modulo dan bilangan prima mempunyai banyak aplikasi dalam ilmu komputer, salah satu aplikasinya yang terpenting adalag kriptografi. Kriptografi adalah ilmu sekaligus seni untuk menjaga kerahasiaan pesan (data atau informasi) dengan cara menyamarkan menjadi bentuk yang tidak mempunyai makna.

• Plainteks, Cipherteks, Enkripsi dan Dekripsi

• Plainteks adalah pesan yang dirahasiakan, artinya teks jelas yang dapat dimengerti.
• Cipherteks adalah pesan hasil penyamaran, artinya teks tersandi
• Enkripsi adalah proses penyamaran dari plainteks ke cipherteks
• Dekripsi adalah proses pembalikan dari cipherteks ke plainteks.

2. Matriks

Dalam matematika, susunan bilangan yang ditulis menurut baris dan kolom serta ditandai dengan tanda kurung di sebelah kiri dan sebelah kanannya disebut matriks. Nama baris dan kolom disesuaikan dengan urutannya. Masing-masing bilangan yang ada di dalam tanda kurung tersebut disebut elemen matriks. Pada matriks di atas, elemen matriks baris ke-2 kolom ke-4 adalah 6 dan elemen matriks baris ke-3 kolom ke-1 adalah 5. Hal ini dapat dilihat dengan mudah pada matriks berikut.

• Notasi dan Ordo Matriks

Untuk menyatakan matriks, biasanya digunakan huruf kapital, seperti A, B, C, ..., sedangkan untuk menyatakan elemen matriks ditulis dengan huruf kecil. Misalnya, aij untuk menyatakan tiap elemen matriks A, bij untuk menyatakan tiap elemen B, dan seterusnya. 

Dari uraian yang telah disampaikan di atas, kita dapat mendefinisikan pengertian matriks sebagai berikut. 

Suatu matriks A berukuran m × n adalah susunan berbentuk persegi panjang yang terdiri atas m baris dan n kolom. 

Matriks A biasanya dinotasikan sebagai berikut.

• Jenis-Jenis Matriks

• Matrik Nol adalah matriks yang semua unsur-unsurnya bernilai sama dengan nol. Contoh nya 

• Matriks kolom adalah matriks yang unsur-unsurnya membentuk suatu kolom. Contoh nya.

• Matriks segitiga adalah matriks yang semua unsur diatas diagonal utamanya bernilai nol, ataupun dibawah diagonal utamanya bernilai nol. Contoh nya.

• Macam-Macam Matriks

• Matriks persegi adalah matriks yang memiliki baris dan lajur yang sama bentuknya m = n . Contohnya.

• Matriks diagonal adalah matriks yang unsur-unsurnya semua bernilai nol kecuali pada diagonal utamanya. Contohnya.

• Matriks identitas adalah matriks skalar uang nilai unsur-unsur diagonal utamanya sama dengan satu. Contohnya.

Terima kasih untuk kalian yang telah mengunjungi artikel ini, semoga dapat bermanfaat.

Dan tetap nantikan artikel mearik dari recudo yah.

Logika | Matematika Diskrit

Logika | Matematika Diskrit

recudo.com - Hay guys.. Jumpa lagi nih dengan reucudo. Gimana nih kabar kalian?. Semoga baik-baik saja yah. Disini admin akan memberikan materi tentang "Matematika Diskrit : Logika". Langsung aja nih admin akan memberikan nya secara singkat.

LOGIKA

1. Konsep Logika

Apa itu Logika.?

• Seringkali Logika didefinisikan sebagai ilmu untuk berfikir dan menalar dengan benar (sehingga didapatkan kesimpulan yang absah). 
• Manusia mampu mengembangkan pengetahuan karena mempunyai bahasa dan kemampuan menalar. Untuk  dapat menarik konklusi yang tepat, diperlukan  kemampuan menalar. 
• Kemampuan menalar adalah kemampuan untuk menarik konklusi yang tepat dari bukti-bukti yang ada, dan  menurut aturan-aturan tertentu.

Logika

• Logika merupakan dasar dari semua penalaran (reasoning).  
• Penalaran didasarkan pada hubungan antara pernyataan (statements).

Proposisi

• Pernyataan atau kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya sehingga disebut sebagai kalimat tertutup. Jika sebaliknya, disebut kalimat terbuka.

Contoh 1 : Semua pernyataan di bawah ini adalah proposisi.

• 13 adalah bilangan ganjil
• Soekarno adalah alumnus UGM.
• 1 + 1 = 2
• 8 ≥ akar kuadrat dari 8 + 8
• Ada monyet di bulan
• Hari ini adalah hari Rabu
• Untuk sembarang bilangan bulat n  0, maka 2n adalah bilangan genap
• x + y = y + x  untuk setiap x dan y bilangan riil

Contoh 1 : Semua pernyataan di bawah ini bukan proposisi

• Jam berapa kereta api Argo Bromo tiba di Gambir? 
• Isilah gelas tersebut dengan air!
• x + 3 = 8
• x > 3

Kesimpulan : Proposisi adalah kalimat berita

Proposisi dilambangkan dengan huruf kecil p, q, r..

Contoh :

p : 13 adalah bilangan ganjil

q : Soekarno adalah alumnus UGM

r : 1 + 1 =  2

Mengkombinasikan Proposisi

• Misalkan p dan q adalah proposisi. 
• Konjungsi (conjunction):  p dan q
• Notasi  p ∧ q
• Disjungsi (disjunction): p atau q
• Notasi: p ∨ q
• Ingkaran (negation) dari p:  tidak p
• Notasi: ~p
• p dan q di sebut proposisi atomik
• Kombinasi p dengan q menghasilkan proposisi majemuk (compound proposition)

Contoh 3 : Di ketahui proposisi-proposisi berikut:

p : Hari ini hujan

q : Murid - murid diliburkan dari sekolah

p ∧ q : Hari ini hujan dan murid-murid diliburkan dari sekolah 

p ∨ q  : Hari ini hujan atau murid-murid diliburkan dari sekolah 

~p    : Tidak benar hari ini hujan (atau: Hari ini tidak hujan)

Contoh 4 : Di ketahui proposisi-proposisi berikut:
p : Pemuda itu tinggi
q : Pemuda itu tampan

Nyatakan dalam bentuk simbolik:

1. Pemuda itu tinggi dan tampan
2. Pemuda itu tinggi tapi tidak tampan
3. Pemuda itu tidak tinggi maupun tampan
4. Tidak benar bahwa pemuda itu pendek atau tidak tampan
5. Pemuda itu tinggi, atau pendek dan tampan
6. Tidak benar bahwa pemuda itu pendek maupun tidak tampan

Penyelesaian:

1. p ∧ q
2. p ∧ ~q
3. ~p ∧ ~q
4. ~(~p ∨ ~q)
5. p ∨ (~p ∧ q)
6. ~(~p ∧ ~q)

Tabel Kebenaran

• Konjungsi

• Disjungsi

• Ingkaran

Contoh 5 :

p : 17 adalah bilangan prima (benar)

q : bilangan prima adalah selalu ganjil (salah)

p ∧ q : 17 adalah bilangan prima dan bilangan prima selalu ganjil (salah)

Contoh 6 : Bentuklah tabel kebenaran dari proposisi majemuk (p ∧ q) ∨ (~q ∧ r)

1. Proposisi majemuk disebut tautologi jika ia benar untuk semua kasus
2. Proposisi majemuk disebut kontradiksi jika ia salah untuk semua kasus

Contoh 7 : p ∨ ~(p ∧ q) adalah sebuah tautologi.

Contoh 8 : (p ∧ q) ∧ ~(p ∨ q) adalah sebuah kontradiksi

Terima kasih untuk kalian yang telah mengunjungi artikel ini, semoga dapat bermanfaat.

Dan tetap nantikan artikel menarik dari recudo yah.

Himpunan | Matematika Diskrit

Himpunan | Matematika Diskrit

recudo.com - Hay guys.. Jumpa lagi nih dengan recudo. Gimana nih kabar kalian?. Semoga baik-baik saja yah. Disini admin akan memberikan materi tentang "Matematika Diskrit : Himpunan". Langsung aja nih admin akan memberikan nya secara singkat.

HIMPUNAN

1. Pengertian Himpunan

Himpunan adalah Kumpulan obyek-obyek yang sejenis. Keanggotaannya terdefinisi dengan pasti.

2. Notasi Himpunan

• Kurang Kurawal   {.....}
• Nama dengan huruf Kapital
• Huruf kecil menyatakan nama anggota
• Lambang keanggotaan  Є
• Banyak anggota dinyatakan n(…)=… 

3. Cara Menyatakan Himpunan

• Menyebut syarat keanggotaannya

Contoh: 

Himpunan A adalah nama-nama manusia 

P adalah himpunan huruf vokal dalam abjad bahasa indonesia

Q adalah himpunan bilangan cacah yang kurang dari 4

R adalah himpunan bilangan bulat yang lebih dari -2 dan kurang dari 3

• Tabulasi : Mendaftar Seluruh Anggotanya

Himpunan A adalah nama-nama manusia

A = { Andi, Budi, Andre, Iwan}

P adalah himpunan huruf vokal dalam abjad bahasa indonesia

P = { a, i, u, e, o}

Q adalah himpunan bilangan cacah yang kurang dari 4

Q = {0, 1, 2, 3}

R adalah himpunan bilangan bulat yang lebih dari -2 dan kurang dari 3

R = {-1, 0, 1, 2}

• Notasi Pembentuk Himpunan Menggunakan Variabel dan Garis Lurus

Himpunan A adalah nama-nama manusia

Contoh : A = {x|x nama manusia}

P adalah himpunan huruf vokal dalam abjad bahasa indonesia

P = {x|x vokal abjad bahasa indonesia}

Q adalah himpunan bilangan cacah yang kurang dari 4

Q = {x|x < 4, x bilangan cacah}

R adalah himpunan bilangan bulat yang lebih dari -2 dan kurang dari 3

R = {x| -2 < x < 3, x bilangan bulat}

4. Macam Himpunan

• Himpunan Kosong
• Tidak mempunyai anggota
• Lambang nya : {}
• Contoh : Himpunan bilangan asli yang kurang dari 1 

A = {x|x < 2, x ∈ Bilangan Prima}

• Contoh : Himpunan manusia yang pernah tinggal di matahari

P = {y|2 < y < 6, y + 1 > 10}

• Himpunan Semesta
• Pemuat seluruh unsur pembicaraan
• Disebut juga dengan himpunan keseluruhan
• Di dalamnya ada himpunan lain
• Dilambangkan S atau U
• Himpunan Hingga
• Banyak anggotanya bisa dihitung
• Contoh : Himpunan bilangan prima yang kurang dari 1000

P = {y|y + 1 < 10, y ∈ bilangan cacah}

• Himpunan Tak Hinggah
• Banyak anggotnya tidak dapat dihitung
• Contoh : Himpunan bilangan genap

P = {(x,y)|x + y = 10, x, y ∈ bilangan bulat} 

• Himpunan Sama
• Unsurnya sama (walaupun urutannya tidak sama)
• Contoh :

P = {1, 2, 3, 4, 5}      Q = {3, 1, 5, 2}         P = Q

R = {a, b, d, e}           P ≠  R

• Himpunan Ekuivalen
• Unsurnya tidak sama, tetapi banyak anggotanya sama
• Contoh :

P = {1, 2, 3, 4, 5}      Q = {3, 1, 5, 2, 6}      R = {a, b, d, e}

P ≠ Q                         P ≠ R                          P ≈ R

• Himpunan Bagian
• Himpunan di dalam himpunan yang laiin
• Nama lain SUBSET
• Lambang nya :
• ⊆ Himpunan Bagian
• ⊂ Himpunan Bagian Sejati
• ⊃ Super Set, Sumber Himpunan