Relasi | Matematika Diskrit

recudo.com - Hay guys.. Jumpa lagi nih dengan recudo. Gimana nih kabar kalian?. Semoga baik-baik saja yah. Disini admin akan memberikan materi tentang Matematika Diskrit "Relasi".

RELASI

1. Relasi

Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A x B.
Notasi: R ⊆ (A x B).
a R b adalah notasi untuk (a, b) ∊ R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh R
a b adalah notasi untuk (a, b) ∊ R, yang artinya a tidak dihubungkan oleh b oleh relasi R.
Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari R, dan himpunan B disebut daerah hasil (range) dari R.

Contoh 1 : Misalkan :

A = {Amir, Budi, Cecep}, B = {IF221, IF251, IF342, IF323}

A x B = {(Amir, IF221), (Amir, IF251), (Amir, IF342),

(Amir, IF323), (Budi, IF221), (Budi, IF251),

(Budi, IF342), (Budi, IF323), (Cecep, IF221),

(Cecep, IF251), (Cecep, IF342), (Cecep, IF323) }

Misalkan R adalah relasi yang menyatakan mata kuliah yang diambil oleh mahasiswa pada Semester Ganjil, yaitu

R = {(Amir, IF251), (Amir, IF323), (Budi, IF221),

(Budi, IF251), (Cecep, IF323) }

Dapat dilihat bahwa R ⊆ (A x B),
A adalah daerah asal R, dan B adalah daerah hasil R.
(Amir, IF251) ∊ R atau Amir R IF251
(Amir, IF342) ∉ R atau Amir R IF342.

Contoh 2. Misalkan

P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan

(p, q) ∈ R jika p habis membagi q

maka kita peroleh

R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15) }

Relasi pada sebuah himpunan adalah relasi yang khusus
Relasi pada himpunan A adalah relasi dari A x A.
Relasi pada himpunan A adalah himpunan bagian dari A x A.

2. Representasi Relasi

a. Reprentasi Relasi dengan Diagram Panah

b. Reprentasi Relasi dengan Table

c. Reprentasi Relasi dengan Matriks

Misalkan R adalah relasi dari A = {a₁, a₂...., a_m} dan B = {b₁, b₂, ..., b_n}.
Relasi R dapat di sajikan dengan Matriks M = [m_ij]

yang dalam hal ini .

Contoh 3 : Relasi R pada Contoh 3 dapat dinyatakan dengan matriks

Dalam hal ini, a₁ = Amir, a₂ = Budi, a₃ = Cecep, dan b₁ = IF221, b₂ = IF251, b₃ = IF342, dan b₄ = IF323.

Relasi R pada Contoh 4 dapat dinyatakan matriks.

Dalam hal ini a₁ = 2, a₂ = 3, a₃ = 4, dan b₁ = 2, b₂ = 4, b₃ = 8, b₄ = 9, b₅ = 15.

d. Reprentasi Relasi dengan Graf Berarah

Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara grafis dengan graf berarah (directed graph atau digraph)
Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi dari suatu himpunan ke himpunan lain.
Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga simpul atau vertex), dan tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur (arc)
Jika (a, b) ∈ R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke simpul b. Simpul a disebut simpul asal (initial vertex) dan simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex).
Pasangan terurut (a, a) dinyatakan dengan busur dari simpul a ke simpul a sendiri. Busur semacam itu disebut gelang atau kalang (loop).

Contoh 4. Misalkan R = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, c), (b, d), (c, a), (c, d), (d, b)} adalah relasi pada himpunan {a, b, c, d}.

R direprentasikan dengan graf berarah sebagi berikut.

2. Sifat Relasi

Relasi yang di definisikan pada sebuah himpunan mempunyai beberapa sifat.

a. Refleksif (reflexive)

Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a, a) ∈ R untuk setiap a ∈ A.
Relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika ada a ∈ A sedemikan sehingga (a, a) ∉ R.

Contoh 5. Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka

Relasi R = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk (a, a), yaitu (1, 1), (2, 2), (3, 3), dan (4, 4).
Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } tidak bersifat refleksif karena (3, 3) ∉ R.

Contoh 6 : Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat refleksif karena setiap bilangan bulat positif habis dibagi dengan dirinya sendiri, sehingga (a, a) ∈ R untuk setiap a ∈ A.

Contoh 7 : Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N.

R : x lebih besar dari y, S : x + y = 5, T : 3x + y = 10

Tidak satupun dari ketiga relasi di atas yang refleksif karena, misalkan (2, 2) bukan anggota R, S, maupun T.

Relasi yang bersifat relfleksif mempunyai matriks yang elemen diagonal utamanya semua bernilai 1, atau m_ii = 1, untuk i = 1, 2, ..., n,

Graf berarah dari relasi yang bersifat refleksif dicirikan adanya gelang pada setiap simpulnya.

b. Menghantar (transitive)

Relasi R pada himpunan A disebut menghantar jika (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ R, maka (a, c) ∈ R, untuk a, b, c ∈ A.

Contoh 8. Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka

R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3) } bersifat menghantar. Lihat tabel berikut

R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak manghantar karena (2, 4) dan (4, 2) ∈ R, tetapi (2, 2) ∉ R, begitu juga (4, 2) dan (2, 3) ∈ R, tetapi (4, 3) ∉ R.
Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) } jelas menghantar
Relasi R = {(1, 2), (3, 4)} menghantar karena tidak ada (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ R sedemikian sehingga (a, c) ∈ R.

Relasi yang hanya berisi satu elemen seperti R = {(4, 5)} selalu menghantar.

c. Setangkup (symmetric) dan tolak-setangkup (antisymmetric)

Relasi R pada himpunan A disebut setangkup jika (a, b) ∈ R, maka (b, a) ∈ R untuk a, b ∈ A.
Relasi R pada himpunan A tidak setangkup jika (a, b) ∈ R sedemikian sehingga (b, a) ∉ R.
Relasi R pada himpunan A sedemikian sehingga (a, b) ∈ R dan (b, a) ∈ R hanya jika a = b untuk a, b ∈ A disebut tolak-setangkup. \
Relasi R pada himpunan A tidak tolak-setangkup jika ada elemen berbeda a dan b sedemikian sehingga (a, b) ∈ R dan (b, a) ∈ R.

3. Relasi Inversi

Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari relasi R, dilambangkan R^-1, adakag relasi dari B ke A yang didefinisikan oleh

R^-1 = {(b, a) | (a, b) ∈ R}

Contoh 9: Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan (p, q) ∈ R jika p habis membagi q , maka kita peroleh

R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15) }
R^–1 adalah invers dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P dengan (q, p) ∈ R^–1 jika q adalah kelipatan dari p, maka kita peroleh
R^–1 = {(2, 2), (2, 4), (4, 4)}

Jika M adalah matriks yang mereprentasikan relasi R,

maka matriks yang mereprentasikan relasi R^-1, misalkan N, diperoleh dengan melakukan transpose terhadap matriks M,

3. Komposisi Relasi

Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dan S adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi R dan S, dinotasikan dengan S o R, adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh

S o R = {(a, c) | a ∈ A, c ∈ C, dan untuk beberapa b ∈ B, (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ S}

Contoh 10 : Misalkan R = {(1, 2), (1, 6), (2, 4), (3, 4), (3, 6), (3, 8)} adalah relasi dari himpunan {1, 2, 3} ke himpunan {2, 4, 6, 8} dan S = {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)} adalah relasi dari himpunan {2, 4, 6, 8} ke himpunan {s, t, u}.

Maka komposisi relasi R dan S adalah

S o R = {(1, u), (1, t), (2, s), (2, t), (3, s), (3, t), (3, u) }

Komposisi relasi R dan S lebih jelas jika di peragakan dengan diagram panah.